Ablett karrierje a Liverpoolban indult 1983-ban, majd 1992-ben az Evertonhoz igazolt, ahol négy idényt húzott le. Ő az egyetlen játékos, aki mindkét liverpooli csapattal megnyerte az FA-kupát.
Később Ablett még játszott a Birminghamben, majd edzősködni kezdett. 2010-ben az Ipswich Town menedzsere lett, nem sokkal később Non-Hodgkin-limfómát állapítottak meg nála.
A Non-Hodgkin-limfóma a nyirokszövet speciális fehérvérsejtjeinek a rosszindulatú daganatos megbetegedése.