Közel félezer kilométeres eltérés is lehet a magyar határ hosszában

A tapasztalat szerint az országhatárok hosszát nem lehet egyértelműen megmérni, egy-egy esetben akár több száz kilométeres eltérés is van az adatokban. Erre először Lewis Fry Richardson angol matematikus figyelt fel a 20. század közepén. A tudós eredetileg a háborút akarta elemezni a matematika eszközeivel.

Richardson úgy vélte, hogy a hajlandóság két ország egymás közötti konfliktusára egyebek között a közös határszakasz hosszának is függvénye. Erre viszont nem talált egyértelmű adatokat: Spanyolország és Portugália határa 987 km a spanyol, 1214 km a portugál enciklopédia szerint. Ez több mint 20%-os eltérés. Hasonlót lehetett tapasztalni a belga-holland határ esetében is, itt 380, illetve 449 km volt megadva. Ha Magyarország határának a hosszára keresünk adatot, 2009 és 2442 km közötti értékeket találunk.

Az eltérések oka a mérés módjában keresendő. Richardson felfedezte, hogyan függ a határ hosszára kapott eredmény a mérőegység hosszától. A spanyolok azért kaptak nagyobb értéket a határ hosszára, mert rövidebb, a cikk-cakkokba jobban beilleszthető mérőláncot használtak. Richardson statisztikáiból Benoît B. Mandelbrot "Milyen hosszú a brit part?" címmel írt cikket, melyben feltételezte, hogy a mérés 200 km hosszúságú vonalzóval történik, és a vonalzó mindkét vége érinti a partot.

Ezt a mérést egyre rövidebb vonalzókkal megismételve egyre nagyobb hosszúságok adódnak, ahogy egyre több részletet, öblöt, félszigetet kell figyelembe venni. Azt lehetne gondolni, hogy a vonalzó hosszának csökkenésével a kapott eredmény egy véges értékhez, a partvonal "valódi hosszához" tart, de megmutatható, hogy nincs ilyen felső határ. A part hossza tetszőlegesen hosszú is lehet, ha elég rövid a méréséhez használt egység. Ennek a jelenségnek Richardson-hatás a neve.

A gyakorlatban azonban nem lehet tetszőlegesen rövid mérőeszközt használni, az atomi távolságoknál elvileg is meg kellene állni, többek között azért, mert az atomok, molekulák a mérés során is "mocorognának".

Britannia partvonalának hosszára 200, 100 és 50 km-es egységekkel 2400, 2800 és 3400 km-es hosszúság adódik

Ha nem lehet megmérni a tengerpartok és az országhatárok hosszát, akkor a hosszúság nem tulajdonsága ezeknek a görbéknek. De akkor mit kell mérni, van-e olyan mérőszám, ami a mérési módszertől, léptéktől függetlenül jellemzi a határokat? Van, de egy paraméter nem elég az itt vizsgált görbék jellemzéséhez, kettő kell belőlük. Az államhatárok, folyók, tengerpartok méréssel kapott L hossza és az u mértékegység közötti összefüggés a következő:

L = c / u^D

ahol a c arányossági tényező tapasztalatilag határozható meg, D neve pedig a fraktális dimenzió. "Közönséges" görbe esetén D értéke 1. Partvonalak, országhatárok D-jére itt van néhány példa:

Colorado: 1,00
Németország: 1,12
Portugália: 1,12
Nagy Britannia: 1,24
Japán: 1,12 - 1,39 között
Norvégia déli partja: 1,52
Queensland (Ausztrália) zátonyainak partvonala: 1,9

A többszöri nagyítás után is "gyűrött", nem kisimuló görbék a fraktálok közé tartoznak. Ez a név a D dimenzió törtszám voltára utal, a latin fraktus szó jelentése "törött". Ha a fraktális dimenzió értéke 2, akkor a vizsgált alakzat már a felületekhez hasonlóan viselkedik. Queensland zátonyainak a kerülete tehát szinte kitölti a felületet. A matematikában léteznek olyan vonalak, melyek fraktális dimenziója 2, ilyen például a Mandelbrot halmaz határvonala.

A Mandelbrot halmaz határának fraktális dimenziója

Az államhatárok e furcsa tulajdonsága egzaktul szemlélve azt is jelenti, hogy vagy nem az állam teljes területét védi egy reális határőr, vagy végtelen sok mini-határsértést követ el szolgálata ellátása közben (kivéve Coloradót meg a többi vonalzóval húzott esetet).

Posztobányi Kálmán