Káprázatos matematikai alakzatokat fedeztek fel

A matematika szépsége a Mandelbrot fraktál térbeli analógiájában is megmutatkozik. Síkbeli megfelelőjéhez hasonlóan ezt a háromdimenziós ponthalmazt is egyszerű algoritmus definiálja. De miért csak most találták meg ezt az algoritmust?

A nyolcadrendű Mandelgumó

Ha a Mandelbrot halmaz ábrája alapján próbáljuk elképzelni a 3D változatot, akkor a körök helyett gömböket, illetve "almákat" várunk (utóbbiak az úgynevezett kardidoidok megforgatottjai). A kiterjesztés nem tűnik nehéznek, a korábbi, 3D Mandelbrot ábrát kereső próbálkozások mégsem voltak sikeresek, mert nem mutattak valódi fraktálviselkedést.

Ésszerűnek tűnt tehát a komplex számok 4D megfelelőivel, a kvaterniókkal próbálkozni. Igaz, hogy a kapott fraktálhalmaz négydimenziós, de háromdimenziós metszetei ábrázolhatóak. Sajnos ez a módszer "unalmas" forgásszimmetrikus fraktálokat eredményezett, melyek nem voltak komplexebbek a 2D Mandelbrot halmaznál.

A nyolcadrendű Mandelbulb fraktál egy részlete. Ami sima felületnek látszik, arról az iteráció folytatása kiderítheti még, hogy "gumós"

A többi technika sem vezetett eredményre. Az "ami lent, az fent" szellemében a matematikusok a 3D fraktáltól is elvárták azt, amit a 2D halmaz már teljesített: ha nem is pontosan, de mutasson önhasonlóságot, legyen eléggé öszetett, és tartalmazza magában a Mandelbrot halmazt. Ezek a követelmények precízebben is megfogalmazhatók, de az eredmények értékelésében még így is maradnak szubjektív elemek, attól függően, hogy mely tulajdonságokat akarnak megtartani 3D-ben a matematikusok. 2007 novemberében Daniel White (Bedford, Egyesült Királyság) publikált egy formulát a 3D-s változatra, de az nem adta vissza a valódi fraktál részletességet.

Méhkasokat felidéző részlet

Két évvel később egy újabb algoritmus született (lásd a keretes részben), és az ezzel definiált halmaz a Mandelbulb nevet kapta (bulb=gumó). Az algoritmusban szerepel egy n paraméter, a halmaz rendűsége, amely törtszám is lehet. Az n-edrendű Mandelbulb felületen n-1 oldalú vagy ágú alakzatok figyelhetők meg. Úgy tűnik, a matematikusok és a programozók többsége a nyolcadrendű Mandelbulb fraktálokat tartja a legszebbnek, ezekre a "hetesség" a jellemző.

 

 

A másodrenű Mandelgumónál meglepő lehet, hogy ahol szálra lehetett számítani, ott felület van

 

White szerint nem biztos, hogy ezek a "hátborzongatóan szép" alakzatok jelentik a Mandelbrot halmaz tökéletes 3D megfelelőjét, de valószínű, hogy a fraktáloknak ez az új osztálya sokat fog szerepelni a matematikában és a művészetekben.

 

A Mandelbulb fraktál matematikája

A síkbeli kistestvér, a Mandelbrot halmaz azoknak a komplex számoknak az összessége, amelyekre a z_1=c, z_k+1 = z_k^2+c sorozat korlátos. A z=(x,y) kompleksz szám négyzete (x^2-y^2, 2*x*y), aminek exponenciális alakja r^2*(cos(2*phi),sin(2*phi)). A definíció ismeretében fejben is kiszámolható, hogy a (0,0) koordinátájú pont benne van a Mandelbrot-halmazban, az (1,0) pont pedig nem. A halmaz határához közeli komplexek esetén azonban hosszadalmas számítás kell a tagság eldöntéséhez. A halmaz ábrája a nevezetes almaemberke, melynek "bimbói" végtelen sokszor ismétlik magukat. A halmaz határvonala rendkívül bonyolult, fraktáldimenziója 2, mint a síkbeli alakzatoké.

A Mandelbulb fraktál elemei a komplex számok háromdimenziós megfelelői, a triplexek. A halmazt előállító sorozat: t_1= c, t_k+1 = t_k^n+c, ahol a t=(x,y,z) triplex szám n-edik hatványa r^2*[cos(n*theta)cos(n*phi), sin(n*theta)cos(n*phi), -sin(n*phi)], r^2=x^2+y^2+z^2, tg(theta)=y/x, tg(phi)=z/sqrt(x^2+y^2). Az n paraméter, a kitevő törtszám is lehet. A másodrendű (n=2) Mandelbulb fraktál egyik síkmetszete Mandelbrot halmaz. A Mandelbulb fraktál akkor méltó analógiája a Mandelbrot halmaznak, ha felületének fraktáldimenziója 3. Ez még nincs igazolva.

Posztobányi Kálmán