Újabb káprázatos matematikai alakzatok

A mindennapi polinomok unalomig ismert matematikai objektumok, azonban még napjainkban is képesek újdonságokkal szolgálni. Mi köze van például a polinomoknak a szépséghez és a bonyolultsághoz? Ez is kideríthető - sok-sok számolással. Nem kell hozzá mást tenni, mint speciálisan kiválasztott polinomok gyökeit ábrázolni koordináta-rendszerben.

Dan Christensen ábráján az olyan ötödfokú polinomok gyökei szerepelnek, amelyekben az együtthatók -4 és 4 közötti egész számok. A gyökhalmaznak nagyon kevés eleme van a 0, az 1 és a -1 környezetében, ahol a legnagyobb lyukak vannak

A középiskolai algebra közszereplői, a polinomok gyakran szerepelnek a reáltudományokban. Ezek a kifejezések egy vagy több különböző kitevőjű és együtthatójú változó összegeként írhatók fel. Az x² - x - 2  például egy másodfokú vagy kvadratikus polinom, a legnagyobb kitevőjű tagban az x változó négyzetre van emelve.

A polinom gyöke x-nek az az értéke, amelyre a kifejezés értéke nulla. A fenti másodfokú polinom gyökei 2 és -1. Ezek a gyökök a másodfokú egyenlet megoldóképletével találhatók meg, de nem minden polinomra létezik megoldóképlet. Bár a negyedfokú egyenletre is létezik megoldóképlet, a 3-nál magasabb fokú polinomok gyökeit a legtöbbször numerikus módszerekkel találják meg.

Az első ábra i körüli kinagyított része. Látszik, hogy a képzetes egység, az i gyöke az egyik polinomnak, de közvetlen környezetében nincs más gyök. A pontok a polinom fokszámától függően kapták színüket

A polinomok gyökei nem mindig valósak. Például az x² + 1 másodfokú polinom csak akkor nulla, ha x² egyenlő -1-gyel, de nincs olyan valós x, amelyre ez igaz. Az x² + 1 = 0 egyenlet megoldásait a képzetes számok között kell keresni. Ezeknek az egységeleme az i-vel jelölt szám, a  -1 négyzetgyöke. A képzetes számok nem felelnek meg semmilyen konkrét fizikai mennyiségnek. Egy mérésnek soha nem képzetes az eredménye, és nem lehet i forinttal, vagy annak többszörösével fizetni.

Sam Derbyshire képe azoknak a 24-ed fokú polinomoknak a gyökeit ábrázolja, amelyekben valamennyi együttható 1 vagy -1. Ez több százmillió pontot jelent. A színek itt pontsűrűséget jelentenek, ahol nincs pont, ott fekete az ábra. Az 1 és az i pontokat itt is érdekes alakú lyukak veszik körül

A polinomok gyökei azonban valósak és képzetesek, valamint valós és képzetes számok összegei (azaz komplex számok) is lehetnek. Egy polinom valamely a+bi gyöke a derékszögű koordinátarendszerben az (a,b) koordinátájú ponttal ábrázolható. Ha sok, speciálisan kiválasztott polinom gyökét ábrázoljuk így, akkor jellegzetes minták rajzolódnak ki, melyekben egyes helyeken nagy sűrűségben találhatók gyökök, máshol meg esetleg teljesen hiányoznak.

Az előző ábra 1 körüli részének a kinagyítása

John Baez matematikai fizikus (University of California, Riverside) ilyen mintákat mutatott be a közelmúltban. Ezeket az ábrákat Dan Christensen matematikus (University of Western Ontario) és Sam Derbyshire hallgató (University of Warwick, Anglia) számolták ki. A matematikusok polinom-családok gyökeit ábrázolták a polinomok fokszámának és az együtthatóknak a korlátozásával. A valós számokat a vízszintes tengely mentén vették fel, a képzetes számokat pedig a függőleges tengely mentén.

Ez pedig az i körüli lyuk

A komplex számok a komplex számsík négy negyedének valamelyikébe kerültek. A polinom-családok a gyökeit tömegesen ábrázolva olyan bonyolult és érdekes alakzatok rajzolódtak ki, melyeket még a matematikától idegenkedők is megcsodálnak.

A 4/5 körüli részen a komplex gyökök lángokra emlékeztető minta szerint helyezkednek el. A vízszintes fehér vonal elemei a valós gyökök. A "lángok" is, a fehér vonal is diszkrét pontokból áll, melyek ennél a felbontásnál folytonosnak tűnnek

Christensen és Derbyshire ábrái nemcsak szépek, hanem hasznosak is lehetnek: a gyökök kiszámítását és ábrázolását más algoritmusokkal megismételve a numerikus eljárások tesztelhetők. Azt is hasznos lehet tudni, hogy melyek azok a tartományok, amelyekben nem érdemes megoldást keresni, így a gyökkeresést is gyorsíthatja a polinomgyök-ábrák ismerete.

A főgyűrű éle Derbyshire ábráján. John Baez matematikai fizikus szerint ez a kép felfogható annak metaforájaként, hogyan emelkednek ki a jól definiált alakzatok a még felderítetlen matematikai tartományok ködéből