Lenyűgöző kisfilm a természet számairól

Hogy Leonardo Fibonacci itáliai matematikusnak voltak-e nyulai, azt nem tudni, de 1202-ben annyira elmélyült a nyúltenyésztés problémájában, hogy az eredmény egy újfajta számsorozat lett, melyet róla neveztek el. A sorozat elemei több természetes képződményben fellelhetőek, például csigaházakban vagy a napraforgóban. Egy rendkívül látványos videó segítségével betekintést nyerhetünk abba, hogy miként jelennek meg a matematikai struktúrák a természetben.

Fibonacci-spirálok egy pagoda karfiolban

Fibonacci gondolatkísérlete szerint egy nyúlpár a második hónaptól képes szaporodni, és innentől fogva a nyúlmama havonta egy hím és egy nőstény nyulat hoz a világra. Az érési idő elteltével aztán ezek az utódok is sokasodni kezdenek, és soha nem pusztulnak el, hiszen matematikai nyulak. A nyúlpárok száma így az egyes hónapokban 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, és ez még csak egy év volt. A sorozat tagjainak rekurzív (ismétlődő lépésekből álló műveletsorozaton alapuló) képzési szabálya nagyon egyszerű (az új tag mindig az előző két tag összege), de az úgynevezett explicit képlet (a sorozat n-edik tagjára vonatkozó képlet) is ismert. Az igazsághoz hozzátartozik, hogy indiai matematikusok mintegy 50 évvel megelőzték Fibonaccit e sorozat felismerésében (aki erről nem tudott).
 
A sorozat a negatív számokra is kiterjeszthető. A "mínuszos" tagok esetében a sorozat oszcillál, a pozitív sorszámú tagok viszont csaknem exponenciálisan növekedve követik egymást. Ez nem mértani sorozat, a hányados tehát nem állandó, azonban ahogy egyre nagyobb tagokat veszünk, a szomszédos tagok hányadosa egyre közelebb kerül az ókor óta ismert 1,618...-hoz, a nevezetes aranyszámhoz, amely az aranymetszést kifejező szám. Egy szakasz akkor van az aranymetszésnek megfelelően kettéosztva, ha a hosszabbik darabja úgy aránylik a rövidebbhez, mint az egész a hosszabbhoz.
 
Számos természeti képződményben felismerhetőek az aranymetszés, illetve a Fibonacci-sorozat elemei: puhatestű-házakban (aranyspirál), napraforgóban, sőt az emberi testben is. A napraforgó tányérjában ülő magok spirálok mentén helyezkednek el. Az óramutató járása szerinti spirálok száma nem azonos az ellentétes spirálok számával,  hanem két szomszédos Fibonacci számnak felelnek meg.

 

 

Vannak más, szintén igen gyakori matematikai struktúrák is az élő és az élettelen természetben, ezek egyike a Voronoj-féle cellamintázat. Szabálytalanul elhelyezkedő síkbeli pontok esetében bármely ponthoz mindig szerkeszthető olyan sokszög, melynek pontjai (persze a határát leszámítva) közelebb vannak az adott ponthoz, mint a többihez.  Az így szerkesztett síkidomok a Voronoj-sokszögek, melyek egyértelműen kitöltik a síkot. A szitakötő szárnymintázata éppen úgy Voronoj-diagram, mint a zsiráf foltjainak vagy a teknős páncéljának mintázata. A névadó Georgij Voronoj ukrán matematikus Szentpéterváron és Varsóban volt professzor a 19-20. század fordulóján, de ilyen tulajdonságú cellákkal már Descartes is foglalkozott.
 
Vannak olyan természeti jelenségek, melyekben a Fibonacci-sorozat számai és a Voronoj-féle cellamintázat is megjelenik. Ilyen például a levélállás a növény hengeres szárán, vagy maga a napraforgó virágzat. Ezek Fibonacci-spiráljai Voronoj-féle cellaszerkezetté transzformálhatók át. 

* * *

Rovatunk mostantól a Facebookon és a Twitteren keresztül is elérhető, ahol extra tartalmakat is kínálunk.