Kabócák formájában jönnek a prímszámok Tennessee erdőinek talajából

2011.07.28. 10:57

Marcus du Sautoy oxfordi matematikus csoportelmélettel és számelmélettel foglalkozik. Ez utóbbi területen a prímszámok érdeklik a legjobban, Prímszámok zenéje címmel könyvet is írt. Legutóbb a Nature-ben megjelent cikkében a kabócák életciklusának érdekességeit ismertette.

Amikor a természetet kutatjuk, rejtett szabályszerűségeket, kódokat keresünk. A legnagyobb felfedezés az volt, hogy a természet a matematika segítségével érthető meg. Ezt már jól megtanultuk, a matek, a "kód" néha mégis olyan jelenségeknél tör elő, amelyik némileg meglepik a vele foglalkozókat.

Tennessee erdőiben például idén májusban e kód a szó szoros értelmében a talajból tört fel, kabócák formájában. Nashville, amely általában a "blue grass" és "honky tonk" zenék otthona, ezúttal kabócák ciripelésétől volt hangos. Akik ismeri a kabócák matematikáját, azok már számíthattak erre, mert a nagy kabócarajzás azon a vidéken 13 évenként következik be. 1998 után 12 évig csendes és kabócamentes volt a térség, de 2011-ben ismét kabócák százmilliói lepték el az erdőket, és bűvölték el a matematikusokat. Ilyenkor egy négyzetméterre hat héten keresztül akár egy tucat kabóca is jut, e rovarok ragadozói képtelenek megbirkózni ekkora mennyiséggel. A kabócák többsége így természetes módon pusztul el, mint a tiszavirág, a lerakott petékből kibúvó egyedek pedig majd 2024-ben verik fel ismét az erdő csendjét.

A matematikai érdekesség az, hogy ez a 13-as szám nem véletlen. Észak-Amerika keleti részén három 13 éves életciklusú és tizenkettő 17 éves életciklusú tenyészhely létezik. Idén a XIX-es tenyészhely kabócái rajzottak ki Tennessee-ben, jövőre az I-es tenyészhely inváziója várható Virginiában, 2013-ban pedig a II-es a keleti parton, e két utóbbi raj 17 évenként lepi el a saját vidékét.

Egyesek szerint ezek a számok véletlenszerűek, mégis érdekes, hogy nincsenek 12, 14, 15, 16 vagy 18 éves életciklusú kabócák. Igaz, 11 és 19 éves periódusúak sincsenek, mégis egy minta ismerhető fel: a 13 is és a 17 is prímszám. Ezek a számok csak eggyel és saját magukkal oszthatók, és éppen ebből adódik a kabócák evolúciós előnye. Ezek a prímek hasznosak a más állatokkal, különösen a ragadozókkal való rendszeres találkozás elkerülésében. Tegyük fel például, hogy egy ragadozó hatévente tűnik fel az erdőben. Ekkor egy nyolc- vagy kilencéves életciklusú kabóca rajzása sokkal gyakrabban esne egybe a ragadozóval, mint egy hétéves, elsődleges életciklusú kabócáé. Ez az érv akkor is erős, ha jelenleg nem is létezik ilyen ragadozó. Ha egyszer a kabócák ciklusa kialakult, akkor az ellenség nélkül is fennmarad.

A kabócák tehát akaratlanul felfedezték a prímeket fajaik fennmaradása érdekében. És az emberek? Nos, mi megértettük, hogy ezek a számok nem csupán a túlélés kulcsai, hanem a matematikai kódolások igen fontos elemei - írja Marcus du Sautoy. A prímszámok jelenleg a kibervilág titkait védik. A titkosítás, mely a hitelkártyák biztonságát garantálja online vásárláskor, ugyanúgy oszthatatlan számokat használ, mint a kabócák Észak-Amerikában - a prímszámokat. Minden alkalommal, amikor a vásárló elküldi a hitelkártyája számát az adott honlapra, előtte kódolni kell, hogy illetéktelenek ne tudják leolvasni. Ez a kódolás prímszámok segítségével történik. A hitelkártya számának kódolásához a számítógép kap egy nyilvános N számot a honlapról, amelyet arra használ, hogy számítást végezzen az hitelkártya számával. Ez az RSA-eljárás nevű művelet összekuszálja a részleteket, így a kódolt üzenet átküldhető az interneten keresztül. Az üzenet dekódolásához a honlap azokat a prímszámokat használja, amelyek osztói az N számnak. Bár N nyilvános, az N-t osztó prímszámok titkos kulcsok, melyeket csak az N előállítója ismer.

Forrás: AFP

A művelet azért biztonságos, mert két prímszámot könnyű ugyan összeszorozni, de szinte lehetetlen a szorzatból visszanyerni. Például eddig senki sem volt képes megtalálni azt a két prímszámot, amely osztja a következő 617-jegyű számot:

25,195,908,475,657,893,494,027,183,240,048,398,571,429,282,126,204,
032,027,777,137,836,043,662,020,707,595,556,264,018,525,880,784,406,
918,290,641,249,515,082,189,298,559,149,176,184,502,808,489,120,072,
844,992,687,392,807,287,776,735,971,418,347,270,261,896,375,014,971,
824,691,165,077,613,379,859,095,700,097,330,459,748,808,428,401,797,
429,100,642,458,691,817,195,118,746,121,515,172,654,632,282,216,869,
987,549,182,422,433,637,259,085,141,865,462,043,576,798,423,387,184,
774,447,920,739,934,236,584,823,824,281,198,163,815,010,674,810,451,
660,377,306,056,201,619,676,256,133,844,143,603,833,904,414,952,634,
432,190,114,657,544,454,178,424,020,924,616,515,723,350,778,707,749,
817,125,772,467,962,926,386,356,373,289,912,154,831,438,167,899,885,
040,445,364,023,527,381,951,378,636,564,391,212,010,397,122,822,120,
720,357

Annak ellenére, hogy ezek a számok egyszerűen megérthetők, egyben az egyik legnagyobb rejtélyt is jelentik a matematikában. A prímeket sorba rakva szinte lehetetlen észrevenni egy olyan mintát, amely segítene előrejelezni, hol találhatóa következő prím. Tudjuk, hogy prímszámok száma végtelen. Az is könnyen bizonyítható, hogy az egymás után következő egész számok prímszámot nem tartalmazó intervallumai tetszőleges hosszúságúak lehetnek. A mintázat léte azonban kérdéses, ezért egymilliódolláros díjat ajánlottak fel annak, aki felfedi ezeknek a számoknak a titkát. Amit ezért a pénzért be kellene bizonyítani, azt a matematikusok Riemann-hipotézisnek nevezik. A megoldás megtalálója a The Clay Mathematics Institute-nál jelentkezhet a díjért. Bármilyen csodálatosak a kabócák, valószínűleg nem ők fognak nyerni.

KAPCSOLÓDÓ CIKK