Hallott-e már arról, mi is az a Monty Hall probléma?

A feladvány eleinte még a matematikusokon is kifogott

1991-ben a Parade magazin rendkívül népszerű „Kérdezze Marilynt!" című rovatában kapott először széles nyilvánosságot a Monty Hall probléma, amely alaposan felbolygatta az olvasókat, és világhírű matematikus professzorokon is kifogott.

Egyszerűnek tűnő kérdés egy 228 IQ-s hölgytől

A „Kérdezze Marilynt!" a Parade magazin rendkívül népszerű kérdezz-felelek rovata volt, amelyben az olvasók a legkülönbözőbb kérdéseket tehették fel a rovat gazdájának, Marylin vos Savant pedig mindig megadta ezekre a pontos választ.

Marilyn vos Savantról érdemes tudni, hogy 228-as intelligenciahányadosával bekerült a Guiness rekordok könyvébe.

Marylin vos Savant intelligencia hányadosával került be a Guiness rekordok könyvébe Forrás: Pinterest

Férje, a világhírű amerikai kutató, Robert Jarvik pedig a Jarvik-féle mesterséges szív feltalálója. Nos, ez a hölgy az alábbi kérdést tette fel 1991-ben: Ön játékos egy televíziós műsorban, és három ajtó közül kell választania.

A Monty Hall paradoxon megoldása heves reakciókat váltott ki Forrás: YouTube

Az egyik mögött rejlik a főnyeremény, egy autó, a másik kettő mögött pedig nincs semmi. Ön a második ajtót választja. Ekkor a műsorvezető kinyitja a másik két ajtó közül az egyiket, mondjuk a harmadikat, ami üres. Majd felteszi a kérdést, hogy szeretne-e változtatni és esetleg másik ajtót választani?

Rendkívül heves reakciókat válttott ki Marylin teóriája

Bár az emberek többnyire úgy vélik, hogy 50-50 % az esély arra, hogy hol van a főnyeremény, valójában ez még sincs így. Ha megváltoztatja döntését és a harmadik ajtót választja, megduplázza annak esélyét, hogy megkapja a nyereményt – állította Marilyn vos Savant.

Ez rendkívül heves reakciót váltott ki a közönségből,

Marilyn mintegy tízezer olvasói levelet kapott, és 92%-uk szerint Marilyn tévedett.

Marylin vos Savant férje, a világhírű tudós-feltaláló, Robert Jarvis társaságában Forrás: Pinterest

Nehezen érintette a rajongókat, hogy Marilyn, akiben megbíznak, egy ilyen egyszerű kérdésben ekkorát téved. Ennek ellenére Marylin vos Savant kitartott saját válaszának helyessége mellett annak ellenére, hogy több mint ezer doktori fokozattal rendelkező ember, köztük ingerült matematika professzorok is rosszallásukat fejezték ki „tévedéséért". Végül azonban kiderült, hogy mégis csak a 228-as intelligenciahányadossal rendelkező hölgynek volt igaza.

Csak a számítógép győzte meg a dühös professzort

Ne aggódjon senki, ha elsőre nem volna világos a probléma lényege.

Ez az egyszerűnek tűnő feladat még a legnagyszerűbb matematikuson is kifogott.

A problémát bemutatták a magyar származású világhírű amerikai matematikusnak, Erdős Pál professzornak is, aki először lehetetlennek tartotta a paradoxont még a matematikai bizonyítás ellenére is.

A világhírű matematikus, Erdős Pál professzor ( a képen középen, kávéscsészével a kezében) David Kendall társaságában Forrás: Mathematical Association of America

A dühös professzort csak a számítógépes szimuláció győzte meg,

hogy bizony a rovatvezető hölgynek igaza van. A számítógép sok száz esetet modellezett és 2:1 arányban volt a jó az a döntés, ha változtatott az ember. Annak hogy egyből jó ajtót választottunk 1:3, annak pedig, hogy a nyeremény másik ajtó mögött van 2:3 az esélye.

A feladvány eleinte még a matematikusokon is kifogott Forrás: YouTube

Mivel a valószínűségek összege 1 kell hogy legyen, ha változtatunk, dupla eséllyel nyerhetünk.

Természetesen ez akkor van így, ha a műsorvezető tudja, hol a nyeremény és mindig olyan ajtót fog kinyitni, ahol nem az található. Ha egyből jó ajtót választottunk, a játékvezető véletlenszerűen fog választani a másik kettő közül, hisz mindegy, melyiket nyitja ki.

Nem mindig úgy van, ahogyan látszik

Nézzük a Monty Hall paradoxont másik szemszögből is. Kezdetben 1:3 az esélye, hogy bármelyik ajtó mögött ott lehet a főnyeremény, az autó.

Ez az esély nem változik, mert a műsorvezető olyan ajtót fog kinyitni, ami mögött nincs ott az autó,

tehát, amikor kinyitja az üres ajtót, még mindig 1:3 lesz az esélye annak, hogy az általunk választott ajtó mögött rejtőzik a gépkocsi, és 2:3 hogy mégsem ott.

Forrás: YouTube

Vagyis mindig 2:3 annak is az esélye, hogy másik ajtó mögött találjuk meg a főnyereményt, ezért jó, ha váltunk. Mivel annak az esélye, hogy a játékos elsőre eltalálja a megfelelő ajtót 1:3, illetve 2:3 hogy nem, ezért ha megváltoztatja a döntését, akkor 2:3 lesz arra,az esélye, hogy nyer.

Monty Hall Forrás: Wikimedia Commons

Hogy elsőre bizonyosan rossz ajtót választunk, annak 2:3 az esélye, azaz kétszer valószínűbb, mint hogy egyből a nyereményt rejtő ajtóra mutatunk. Ez esetben a műsorvezető nem választhat véletlenszerűen a másik két ajtó közül, és szükségszerűen azt nyitja ki, ami mögött nincs ott az autó.

A Monty Hall probléma sokakat megtréfált Forrás: Pinterest

A játékvezető beavatkozik a véletlenszerű folyamatba, megsérti a véletlenszerűséget

és így biztossá teszi, hogy ha a játékos változtat döntésén, övé lesz az autó. Ezért is jó, ha változtatunk.

De ki is az a Monty Hall?

Annak idején futott egy híres televíziós játék az amerikai csatornán, „Let's Make a Deal" (Kössünk üzletet) címmel, melyet Monty Hall vezetett.A Monty Hall probléma vagy paradoxon e televíziós vetélkedő utolsó feladatán alapult.

Monty Hall amerikai televíziós személyiség, akiről a probléma a nevét kapta Forrás: Wikimedia Commons

A játék végén az, aki társait legyőzte, három ajtó közül választhatott és az egyik mögött volt az aznapi főnyeremény, egy autó, a másik két ajtó mögött pedig egy-egy kecske. A játékról statisztikát készítettek: kétszer gyakrabban nyerték meg az autót azok, akik megváltoztatták az eredeti döntésüket.