Katona Gyula

Hogyan lett "magyar matematika" a kombinatorika?

V. A halmazok "árnyékvilága"

Végül szerénytelen leszek: Egy 1965-ben született eredményemet mutatom be. Most már nem fogok csapatokról és hasonlókról beszélni. A kedves olvasók már gyakorlottak lettek, azt hiszem, beszélhetek már egyszerűen halmazokról.

Egy háromelemű halmaz árnyékhalmazai azon kételemű halmazok, amelyek egy-egy elem elhagyásával keletkeznek.

Animáció: Háromelemű halmaz árnyékhalmazai

Tehát a háromelemű halmaznak 3 árnyékhalmaza van. Ha két háromelemű halmazom van, akkor ezek árnyékhalmazai egybeeshetnek (feltéve, hogy a két háromelemű halmaznak van közös eleme). Nézzünk két esetet! Az összes árnyékhalmaz száma lehet 6 is

Animáció: Két háromelemű halmaz árnyékhalmazai - amikor a halmazoknak nincs közös elemük

és 5 is.

Animáció: Két háromelemű halmaz árnyékhalmazai - amikor a halmazok "közel vannak egymáshoz"

Látható, hogy kevesebb nem lehet. Válasszunk most 3 darab háromelemű halmazt! Mikor lesz az összes árnyékhalmaz száma a legkevesebb? Érezhető, hogy akkor, ha a halmazokat "közel" vesszük. Ez 7 árnyékhalmazt ad:

Animáció: Három háromelemű halmaz árnyékhalmazai - amikor 7 árnyékhalmaz van;

ez pedig csak 6-ot:

Animáció: Három háromelemű halmaz árnyékhalmazai - amikor 6 árnyékhalmaz van